Welcome!

By registering with us, you'll be able to discuss, share and private message with other members of our community.

SignUp Now!

بی نهایت در ریاضی

  • نویسنده موضوع sting
  • تاریخ شروع
  • Tagged users هیچ

اطلاعات موضوع

Kategori Adı ریاضی
Konu Başlığı بی نهایت در ریاضی
نویسنده موضوع sting
تاریخ شروع
پاسخ‌ها
بازدیدها
اولین پسند ارسالی
Son Mesaj Yazan sting

sting

معـاون ارشـد انجمـن
تاریخ ثبت‌نام
Jun 26, 2013
ارسالی‌ها
27,708
پسندها
5,661
امتیازها
113
محل سکونت
تهـــــــــــران
وب سایت
www.biya2forum.com
تخصص
کیسه بوکس
دل نوشته
اگه تو زندگی یکی از سیم های سازت پاره شد... آهنگ زندگیتو رو جوری ادامه بده هیچکس نفهمه به تو چی گذشت ، حتی اونیکه سیم رو پاره کرد!
بهترین اخلاقم
نــــدارم
سیم کارت
تیم ایرانی مورد علاقه
تیم باشگاهی مورد علاقه
تیم ملی مورد علاقه

اعتبار :

بینهایت
مفهومی است که در رشته*های مختلف ریاضیات (با تعبیرات مختلف) به*کار می*رود و معمولاً به معنای «فراتر از هر مقدار» است. معمولاً نشانه بینهایت در ریاضیات ∞ است.



نماد بینهایت در حالت های مختلف


بی نهایت از واژه لاتین
finites
به معنی محدود گرفته شده ( علامت
) چیزی است که "محدود" نیست، که در آن هیچ محدودیت فضایی و زمانی وجود ندارد.
در آنالیز حقیقی بینهایت به معنای حدی بیکران است.
یعنی متغیر
فراتر از هر مقدار در نظرگرفته شده رشد می*کند.
در آنالیز مختلط نیز همین علامت با همین نام به*کار می*رود. در این رشته
یعنی قدر متغیر مختلط
(که آن را با
نشان می*دهند) بیش از هر مقدار در نظر گرفته شده رشد می*کند.
در نظریه مجموعه*ها مفهوم بینهایت با اعداد ترتیبی و اعداد اصلی مربوط است. عدد اصلی مجموعه اعداد طبیعی را با
نمایش می*دهند و می*خوانند «الف صفر» (از اولین حرف الفبای عبری به*نام «الف»). این عدد «تعداد» عددهای مجموعه اعداد طبیعی را نشان می*دهد، که «بینهایت» است. جالب است که بدانید که عدد اصلی مجموعه*های N و Z و Q یکسان هستند ولی عدد اصلی مجموعه R برابر عددی است که آن را الف می*خوانند. خوب است بدانید که الف برابر دو به توان الف صفر می*باشد. بینهایت دارای دو مفهوم فیزیکی و ریاضی است که کاملاً با یکدیگر متفاوتند.
مفهوم فیزیکی بینهایت، دارای تعریف دقیقی نیست و در جای*های مختلف دارای تعاریف متفاوت است. به عنوان مثال، می*گوییم که اگر جسم در کانون عدسی محدب قرار گیرد، تصویر در بینهایت تشکیل می*شود. حال دو عدسی با فواصل کانونی متفاوت در نظر بگیرید و اجسامی را روی کانون این دو عدسی قرار دهید. طبق قاعده، تصاویر هر دو در بینهایت تشکیل می*شود. اما قطعا تصویر این دو دقیقا در یک نقطه تشکیل نمی*شود؛ یعنی بینهایت برای این دو عدسی متفاوت است.
به عنوان مثالی دیگر، دو منبع گرمایی، مثلاً دو اتو با درجه حرارتهای متفاوت را در نظر بگیرید. فاصله*ای که در آن، دیگر اصلاً گرمای اتو را احساس نکنیم، برای این دو اتو متفاوت است، به عبارت دیگر، بینهایت برای این دو اتو تفاوت دارد.
اما مفهوم بینهایت، در ریاضیات کاملاً متفاوت با بینهایت فیزیکی است. علامت بینهایت در ریاضیات، است. در ریاضیات می*گوییم: «بینهایت مقداری است که از هر مقدار دیگر بیشتر است.» به عنوان مثال، بینهایت را در اعداد طبیعی در نظر می*گیریم و می*گوییم: بینهایت از ۱، ۱۰، ۱۰۰، ۱۰۰۰۰۰۰۰۰۰۰ و هر عدد دیگر که در نظر بگیرید، بزرگ*تر است.
این مفهوم، دقیقا همان مفهومی است که در «حد در بینهایت» در نظر گرفته می*شود. به عنوان مثال، در تابع، وقتی می*گوییم، یعنی این که x از هر عدد انتخاب شده بزرگ*تر است.
یکی از مهم*ترین مباحثی که بینهایت در آن دارای کاربرد است، نظریه مجموعه هاست. به عنوان مثال می*دانیم که تعداد اعضای مجموعه اعداد حقیقی و مجموعه اعداد صحیح و طبیعی و ... بینهایت است. (تعداد اعضای هر مجموعه را عدد اصلی می*نامند) در ریاضیات پیشرفته ثابت می*شود که عدد اصلی مجموعه اعداد حقیقی و صحیح با یکدیگر برابر نیست.


اصل موضوع اقلیدس

اصل موضوع اقلیدس: هر کل از هر جزء خود اکیدا بزرگ*تر است.
اگرچه در دنیای طبیعی این اصل درست است، اما پس از ظهور مفهوم مجموعه مثال*های نقضی برای آن پیدا شد. مثلاً واضح است که
تعداد
اعداد طبیعی با
تعداد
اعداد زوج طبیعی برابر است (کافی است هر عدد طبیعی را با دو برابرش متناظر کنیم)، در حالی که اعداد زوج طبیعی،
جزء
ی از همه اعداد طبیعی هستند.
البته این نکته را نباید فراموش کرد که : مجموعه اعداد طبیعی یک کل می*باشد که با کل اعداد زوج طبیعی مطابق است اما مفهوم اعداد طبیعی یک کلی است که همواره بیشتر از مفهوم کلی اعداد زوج طبیعی است و
منظور از بیشتر به لفظ دقیق تر پیشتر میباشد
که در تصور مفهوم دوم یعنی اعداد زوج به مفهوم اول نیاز است و عکس این قضیه صحیح نیست . در جمع بندی باید گفت : مجموعه اعداد طبیعی با مجموعه هر عددی حتی یک برابر است زیرا با فرمولی که با هر متغیر ورودی تغییر می*کند همواره به عدد ثابتی خواهیم رسید که مثلا میتوان گفت : مجموع اعدا طبیعی به ازائ هر عدد خود یک عدد یک دارد. والبته بودن یانبودن مصداق برای مفاهیم عام با فلسفه محض است و نه با ریاضیات چنانکه بودن یا نبودن عدد و مقدار با فلسفه است و نه با ریاضی .


بینهایت از نگاه ددکیند

اشتباه بودن اصل موضوع اقلیدس در زمینه ریاضیات مورد بحث بود، تا این که ریچارد ددکیند تعریفی از مفهوم بینهایت ارائه داد. ددکیند هر چیزی را که اصل موضوع اقلیدس برای آن صادق نباشد،
بینهایت
نامید. پس طبق تعریف ددکیند، بینهایت هر چیزی است که با جزئی از خود
هم*اندازه
باشد.
این، شاید اولین تعریف از
بینهایت
در زمینه نظریه مجموعه باشد. ددکیند مجموعه*ای را که بینهایت عضو داشته باشد، نامتناهی نامید. پس طبق این تعریف، یک مجموعه را
نامتناهی
گوییم هرگاه با یک زیرمجموعه سره از خودش هم*اندازه باشد. مجموعه متناهی، مجموعه*ایست که نامتناهی نباشد.


بینهایت از نگاه کانتور

در اواخر قرن نوزده، جرج کانتور به*طور رسمی نظریه مجموعه را ارائه داد. براساس نظریه کانتور، مجموعه
A
را
k عضوی
گوییم (
) هرگاه یک تناظر یک به یک بین
A
و مجموعه
وجود داشته باشد. مجموعه متناهی مجموعه*ایست که یا تهی باشد و یا (به ازای یک
،)
k عضوی
باشد. و بالاخره مجموعه نامتناهی مجموعه*ایست که متناهی نباشد.
به عبارت دیگر، طبق تعریف کانتور،
بینهایت
هر چیزی است که نتوان آن را شمرد.
نکته قابل توجه این است که تعریف*های ددکیند و کانتور از مفهوم
بینهایت
با هم معادل*اند؛ به عبارت دیگر، می*توان نشان داد که یک مجموعه نامتناهی است اگر و تنها اگر با یک زیرمجمموعه سره از خودش
هم*اندازه
باشد.
 
بالا پایین